1 引言

　　近年来，由于用眼过度和书写环境不良等原因，我国已成为青少年近视眼发病率世界第二的国家，而且因高度近视而致盲的青少年人数高达30 万[1]。视力保护、缓解眼疲劳十分必要。调查指出，相对于普通交流台灯，使用无频闪台灯有助于减轻眼疲劳和其他用眼不良感觉，如眼睛干涩、胀痛和眼花等[2]。

　　LED 作为直流无闪频、高光效的新一代照明光源，在书写照明应用上具有极大的潜力。但是，LED 高度窄角集中的光学特性导致了光斑呈现中间极亮，随半径增大方向急速衰减的不均匀现象。这种极度不均匀照明将引起瞳孔频繁调焦，容易导致眼睛疲劳和不适。利用自由曲面透镜是有效改善光线分布状况的重要途径。该方法目前主要集中于LED 路灯等室外照明的研究[3]。LED 是具有一定发光面尺寸的光源，但是面光源的光线路径极其复杂，因此往往将其简化为点光源模型进行透镜设计。这必然影响实际的配光效果。相比于室外照明，应用于室内照明的LED 台灯对照明区域的均匀度要求更高。因此，应用于LED 台灯配光的自由曲面透镜设计必须充分考虑发光面尺寸和透镜尺寸对配光效果的影响。

2 旋转对称自由曲面透镜设计

　　2. 1 设计原理

　　台灯的照明区域主要是圆形区域[4]。因此，实现台灯均匀照明的自由曲面透镜是旋转对称的，其设计可以简化为: 根据Snell 定律和二维平面空间LED 的配光特性求取该平面上透镜自由曲面的母线。LED 光源是具有余弦分布特性的朗伯光源，即I( θ) = I0·cosθ ( 1)上式中I0为法向轴线上LED 的光强，θ 为光线与法向轴线的夹角，如图1 ( a) 所示。利用划分网格法[5]的思想，建立光源与照明区域的拓扑关系。为实现照明区域照度的均匀分布，离散后具有相同微角度间距dθ 的发射光线在照明区域的映射点的间距需满足余弦分布的特性，即l( θ) = l0·cosθ ( 2)

      如图1 点光源与照明区域的拓扑关系如图1 ( b) 所示，等式中l0为发射角度dθ 的光线在照明区域的映射点与照明区域中心点的距离;l ( θ) 为发射角度θ 的光线与发射角度( θ - dθ) 的光线在照明区域的映射点间的距离。

　　自由曲面透镜存在内外表面两个折射面。由于光的透射率随入射角的减小而增大[6]，第一折射面采用球心与点光源重合的半球面能够提高光的透射率，而且理论上不影响点光源光线的传播。如图2所示，当dθ 取较小值时，自由曲面母线可近似为系列dθ 角度区间的直线线段首尾相接构成。

　　图2 中Pn和Qn是一对映射点。光线经自由曲面上的点Pn折射后投射到照明区域的对应点Qn。光线的入射角i 和折射角γ 存在如下关系:

　　　其中α 为直线PnQn　和直线OPn　的夹角，当Pn和Qn两点的位置确定时，α 确定; n 为透镜材质的折射率。由式( 3) 整理可求得入射角i 和折射角γ，如下式所示:

　　　　因此，Pn点的法线Nn和切线Tn可根据Snell 定率求出。

         定义母线上的Pn +1点为Pn点的切线与顺时针夹角dθ 光线的交点，则能保证母线的连续性。根据起始点P0及照明区域的映射点序列( Qn) 可迭代求取母线上的离散点序列( Pn) ，从而确定透镜母线。

　　2. 2 设计案例及仿真结果

　　写作台灯需要保证垂直于出光面400mm 处半径为500mm 范围的照明区域照度均匀分布。采用折射率1. 5 的PMMA 为透镜材料，自由曲面母线起始点P0坐标为( - 5，0) ，利用MATLAB 编程迭代计算出自由曲面透镜的母线，如图3 ( a) 所示。

      根据母线的尺寸， 取第一折射面球半径为4mm， 并通过pro / e 建模，如图3 ( b) 所示。利用Tracepro 仿真一颗75lm 的LED 朗伯光源在垂直距离400mm 的照明区域上的照度分布状况。如图4 所示，在没有二次光学设计情况下，照明区域几何中心照度最大，其中半径300mm、500mm 照明区域的均匀度( 最小值/ 最大值) 分别为约0. 45、0. 15。在500mm 圆形照明区域上的光利用率约65%。

　　如图5 所示，利用自由曲面透镜能够有效提高LED 朗伯光源光的利用效率和照明区域的均匀度。以0. 001mm 半径圆形域作为LED 点光源在Tracepro中的仿真结果如图5 ( a) 所示，半径400mm 内的照明区域均匀度达到95% ，500mm 圆形照明区域上的光利用率约92%。

　　但是，实际上LED 光源并不是点光源。目前，市场上大功率白光LED 芯片尺寸主要在40mil ～60mil 的范围内，结构上会形成半径为1 ～ 2mm 左右的发光面。例如国星光电FP-6070XW-AFT-EEM 型号大功率LED 器件的发光面半径约2mm。以半径为2mm 圆形域作为LED 光源在Tracepro 中的仿真结果如图5 ( b) 所示。显然，LED 发光面尺寸会对实际的配光效果产生影响。

　　3 配光效果分析及透镜优化

　　利用自由曲面透镜进行配光设计是通过折射原理改变光的传播方向实现的。但是，在各个折射面上并不仅仅存在折射。而且，自由曲面上各个点的性质是根据中心点光源和目标照明区域的关系确定的，非中心点发射光线与中心点发射光线之间的偏差会导致实际光线传播路径与设计路径存在误差。

　　3. 1 透镜内外表面光反射作用的影响

　　由图2 可知，透镜既将边缘的光线往中心集聚，又将中心的光线往外分散。特别地，边缘光线的路径角度变化非常大，因此边缘光线经过透镜的透射率相对较小[6]。如图6 所示，以半径500mm 照明区域设计的透镜，仿真结果显示照明区域的照度剖面曲线并不是矩形而是梯形，照明区域边缘存在暗区。定义实际均匀照明区域半径Rlux为两峰值照度间距d的一半。显然，均匀照明区域要小于设计照明区域。

　　3. 2 透镜尺寸对配光效果的影响

　　实际的LED 光源近似为一半径为r 的圆形面光源，光线路径错综复杂，利用数学模型定量分析透镜尺寸与发光面尺寸的关系极其困难。根据相对论的思想，点光源是相对的，调整透镜尺寸能够使面光源配光效果接近于点光源的配光效果。

　　根据不同透镜尺寸参数设计的透镜对发光面半径2mm 的LED 的配光效果， 如图7 所示。由图7( a) 可知，当自由曲面一定时，增大半球面半径R对均匀照明区域半径Rlux影响不大，对照明均匀度提高显著。由图7 ( b) 可知，当半球面半径R 一定时，增大自由曲面尺寸能够有效扩大均匀照明区域使之逼近设计的照明区域( 半径500mm) ，并能够一定程度提高照明均匀度。

　　3. 3 透镜仿真优化

　　上面分析可知，为了保证半径500mm 的照明区域均匀度，设计照明区域应适当加大，且配光效果随着自由曲面和半球面尺寸的增大而提高，最终趋于稳定。

　　台灯不仅仅作为一种家居照明手段，同时也是一种装饰品。因此，透镜的尺寸应该尽量小，以便有更大的空间实现外形设计和散热处理。根据上面的分析，以理论设计照明区域半径600mm，发光面半径2mm，透镜材料折射率1. 5 等预设参数，优化出自由曲面母线起始点P0坐标为( - 8，0) ，半球面半径7mm 的自由曲面透镜。Tracepro 仿真结果如图8 所示，光利用效率达到88% ，半径500mm 照明区域均匀度达到0. 96。

　　4 结论

　　本文根据LED 光源与照明目标区域的余弦拓扑关系和Snell 定率设计的自由曲面透镜，不仅能够有效改善LED 台灯照明区域的均匀情况，而且能够有效提高LED 的利用效率。仿真结果表明，自由曲面透镜尺寸越大，LED 光源尺寸越小，越容易提高照明区域的均匀度。而且尺寸一定的LED 光源存在最优的透镜尺寸使得LED 光源的性能显著提高。

编辑：妮子